歐拉常數c_歐拉常數

(相關資料圖)

1、歐拉常數(Euler-Mascheroni constant)學過高等數學的人都知道，調和級數S=1+1/2+1/3+……是發散的，證明如下：由于ln(1+1/n)<1/n （n=1，2，3，…）于是調和級數的前n項部分和滿足Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞所以Sn的極限不存在，調和級數發散。

2、但極限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）卻存在，因為Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0因此Sn有下界而Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0所以Sn單調遞減。

3、由單調有界數列極限定理，可知Sn必有極限，因此S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。

4、于是設這個數為γ，這個數就叫作歐拉常數，他的近似值約為0.57721566490153286060651209，目前還不知道它是有理數還是無理數。

5、在微積分學中，歐拉常數γ有許多應用，如求某些數列的極限，某些收斂數項級數的和等。

6、例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以這樣做：lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2。

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